Önceki sayfalarda belirttiğimiz gibi arılar peteklerini iki yönlü olarak örerler. Altıgen prizma şeklindeki petek hücreleri tabanda diğer tarafın hücreleriyle birleşir. Arıların ördükleri petekler her yönden kusursuz bir tasarıma sahiptir. Ancak petek hücrelerinin birleşim noktalarında ayrı bir tasarım harikası söz konusudur.
Bu tasarımda dikkat edilmesi gereken ilk nokta petek hücrelerini oluşturan altıgen prizmaların tabanlarında 3 adet eşkenar dörtgen bulunmasıdır. Burada dikkat edilmesi gereken ikinci bir ayrıntı ise her bir petek hücresinin, arka tarafta her zaman 3 hücrenin ortasına geçecek şekilde tasarlanmış olduğudur. Petek hücrelerinin bu içiçe geçmiş yapısı, peteğe maksimum dayanıklılık sağlamaktadır. Burada tabanda birleşen hücrelerin adeta perçinlenmiş çelik bağlantılar gibi birbirlerine kaynatılmış olduğunu söylemek de mümkündür.
Arıların petek yapımlarındaki kusursuz tasarımı inceleyen bilim adamları 3 petek hücresinin tabanlarının karşı taraftaki tek bir peteğin tabanı olacak şekilde örülmesi sırasında yapılan akıl almaz matematik hesaplamaları karşısında şaşkınlıklarını gizleyememişlerdir. Bu son derece karmaşık matematik işlemleri gerektiren bir tasarımdır.
Tıpkı arıların yaptıkları gibi oldukça karışık olan bu hesabı yapan bilim adamları biraz önce bahsedilen niteliklerin sağlanması için çok hassas açılar ortaya koymuşlardır. Ünlü matematikçi Konig'in yaptığı bu hesaba göre en kusursuz yapı için tabandaki bu açıların tam 109 derece 26 dakika ve 70 derece 34 dakika olması gerekmektedir.
Peki arıların kullandıkları açılar nedir? Yapılan ölçümlerde arıların petek inşa ederken tamı tamına 109 derece 28 dakika ve 70 derece 32 dakikalık iki açı kullandıkları ve bu hesapta hiçbir zaman en ufak bir sapma olmadığı görülmüştür. Bu elbette ki inanılmaz bir durumdur. Arılar inanılmazı başarmakta ancak matematik dehalarının çözebileceği bir hesabın altından kalkmaktadırlar.
Yalnız bu hesaplamayla birlikte arıların yaptıkları hesap, 1 derecenin sadece 1/30'u (1 derece 60 dakika'dır. Peteklerle bulunan açı arasındaki 2 dakikalık fark 1/30 dereceye denk gelir) miktarında bir sapma göstermektedir. Yani, arılar -dikkate almaya değmeyecek kadar bile olsa- bir hata payı ile peteklerini örmektedirler.
Evet ortada 1/30 derecelik bir hata gözükmektedir. Bu fark sebebiyle bilim adamları önceleri arıların tam olarak doğru açıyı tutturamadıklarını ve mükemmel sonuca bir hata payı ile yaklaştıklarını düşünmüşlerdir. Oysa işin en can alıcı noktası bu noktada ortaya çıkmaktadır. Çünkü ortada arıların yaptığı bir hata yoktur.
Ünlü İskoç matematikçi Colin MacLaurin (1698-1746) aynı hesabı tekrar yapmış ve ulaştığı sonucu bilim dünyasına açıkladığında büyük bir şaşkınlığa neden olmuştur. Çünkü, MacLaurin, arıların kullandığı açının tamı tamına doğru olduğunu, petekler üzerindeki ilk araştırmayı yapan Konig ve ekibinin, hesaplarında kullandıkları logaritmik cetveldeki bir hata sebebiyle yanlış sonuca vardıklarını ortaya koymuştur.
Kısacası anlaşılmıştır ki arıların ördükleri peteklerde en ufak bir hata yoktur.136 1/30 derecelik hata arılara değil bilim adamlarına aittir.